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Conjugué et Propriétés Algébriques
Les Nombres Complexes
Conjugué et Propriétés
Définition
Pour $z = a + ib$, le conjugué de $z$ est :
$$\bar{z} = a - ib$$
Géométriquement, le point d'affixe $\bar{z}$ est le symétrique du point d'affixe $z$ par rapport à l'axe des réels.
Propriétés du conjugué
Pour tous $z, z' \in \mathbb{C}$ et $n \in \mathbb{N}$ :
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Linéarité | $\overline{z + z'} = \bar{z} + \bar{z}'$ |
| Produit | $\overline{z \times z'} = \bar{z} \times \bar{z}'$ |
| Puissance | $\overline{z^n} = (\bar{z})^n$ |
| Quotient | $\overline{\left(\frac{z}{z'}\right)} = \frac{\bar{z}}{\bar{z}'}$ |
Caractérisation
- $z$ est réel $\iff z = \bar{z}$
- $z$ est imaginaire pur $\iff z = -\bar{z}$
Relation fondamentale
$$z\bar{z} = (a + ib)(a - ib) = a^2 + b^2$$
Ce produit est toujours un réel positif et correspond au carré du module de $z$.
Application : Division de complexes
Pour calculer $\dfrac{z}{z'}$, on multiplie numérateur et dénominateur par $\bar{z}'$ :
$$\frac{z}{z'} = \frac{z \cdot \bar{z}'}{z' \cdot \bar{z}'} = \frac{z \cdot \bar{z}'}{|z'|^2}$$