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Applications Géométriques des Complexes
Les Nombres Complexes
Applications à la Géométrie du Plan
Outils fondamentaux
| Notion | Formule complexe |
|---|---|
| Distance $AB$ | $\|z_B - z_A\|$ |
| Milieu de $[AB]$ | $z_I = \dfrac{z_A + z_B}{2}$ |
| Angle $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD})$ | $\arg\!\left(\dfrac{z_D - z_C}{z_B - z_A}\right)$ |
| Barycentre | $z_G = \dfrac{\sum \alpha_i z_i}{\sum \alpha_i}$ |
Transformations du plan
| Transformation | Écriture complexe |
|---|---|
| Translation de vecteur $\vec{u}$ d'affixe $b$ | $z' = z + b$ |
| Homothétie de centre $\Omega(\omega)$, rapport $k$ | $z' - \omega = k(z - \omega)$ |
| Rotation de centre $\Omega(\omega)$, angle $\theta$ | $z' - \omega = e^{i\theta}(z - \omega)$ |
| Similitude directe | $z' = az + b$ avec $a \in \mathbb{C}^*$ |
Alignement et orthogonalité
Trois points $A$, $B$, $C$ sont alignés si et seulement si $\dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ est réel.
Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires si et seulement si $\dfrac{z_D - z_C}{z_B - z_A}$ est imaginaire pur.
Cercle
Le point $M(z)$ appartient au cercle de centre $\Omega(\omega)$ et de rayon $r$ si et seulement si :
$$|z - \omega| = r$$
Exemple : rotation
Image de $A(2+i)$ par la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$ :
$$z' = e^{i\frac{\pi}{2}} \cdot z = i(2+i) = -1 + 2i$$