Affixe, Module et Argument

Interprétations Géométriques

Affixe d'un point

Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct $(O ; \vec{u}, \vec{v})$, à tout nombre complexe $z = a + ib$ on associe le point $M(a ; b)$.

• $z$ est l'affixe du point $M$, noté $M(z)$
• Pour un vecteur $\vec{w}(x ; y)$, son affixe est $z_{\vec{w}} = x + iy$

Module

Le module de $z = a + ib$ est :

$$|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{z\bar{z}}$$

Il représente la distance $OM$.

Propriétés du module

• $|z| \geq 0$ et $|z| = 0 \iff z = 0$
• $|z \cdot z'| = |z| \cdot |z'|$
• $\left|\dfrac{z}{z'}\right| = \dfrac{|z|}{|z'|}$
• $|z^n| = |z|^n$
• Inégalité triangulaire : $|z + z'| \leq |z| + |z'|$

Argument

Pour $z \neq 0$, l'argument de $z$, noté $\arg(z)$, est l'angle $(\vec{u}, \overrightarrow{OM})$ défini modulo $2\pi$.

Détermination de l'argument

Pour $z = a + ib$ avec $|z| = r$ :

$$\cos(\arg(z)) = \frac{a}{r}, \quad \sin(\arg(z)) = \frac{b}{r}$$

Distance et milieu

• Distance : $AB = |z_B - z_A|$
• Milieu : $z_I = \dfrac{z_A + z_B}{2}$