Synthèse et Lien avec la Loi Normale
Lois Normales, Intervalles de Fluctuation et Estimation
Synthèse Pédagogique
Tableau récapitulatif des lois
| Loi | Paramètre(s) | Densité $f(x)$ | Espérance |
|---|---|---|---|
| Uniforme $\mathcal{U}(a\,;\,b)$ | $a, b$ | $\dfrac{1}{b-a}$ | $\dfrac{a+b}{2}$ |
| Exponentielle $\mathcal{E}(\lambda)$ | $\lambda > 0$ | $\lambda\,e^{-\lambda x}$ | $\dfrac{1}{\lambda}$ |
| Moyenne $f(x)$0 | taille $f(x)$1, loi de $f(x)$2 | dépend de $f(x)$3 | $f(x)$4 |
Lien avec la loi normale
Les résultats sur la concentration de la moyenne et la loi des grands nombres constituent le fondement de l'inférence statistique.
Ils préfigurent le théorème de Moivre-Laplace : sous certaines conditions, la loi binomiale $f(x)$5 peut être approchée par une loi normale $f(x)$6 quand $f(x)$7 est grand.
La loi normale $f(x)$8
Sa densité est la célèbre courbe en cloche :
$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$
Propriétés :
- Symétrique par rapport à $f(x)$9
- $\mathcal{U}(a\,;\,b)$0 et $\mathcal{U}(a\,;\,b)$1
- Règle des 68-95-99,7 :
- $\mathcal{U}(a\,;\,b)$2
- $\mathcal{U}(a\,;\,b)$3
- $\mathcal{U}(a\,;\,b)$4
Remarque
L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev est universelle mais pas optimale : les probabilités réelles sont souvent bien plus faibles que la borne supérieure théorique.