Rappels : Variables Continues, Densité et Répartition

Rappels sur les Variables Continues

Fonction de densité

Une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ est une densité si :

1. $f$ est continue sur $I$
2. $f(x) \geq 0$ pour tout $x \in I$
3. $\displaystyle\int_I f(t)\,dt = 1$

Calcul de probabilités

$$P(X \in [c\,;\,d]) = \int_c^d f(t)\,dt$$

C'est l'aire sous la courbe de $$F(x) = P(X \leq x) = \int_a^x f(t)\,dt$$0 entre $$F(x) = P(X \leq x) = \int_a^x f(t)\,dt$$1 et $$F(x) = P(X \leq x) = \int_a^x f(t)\,dt$$2.

Remarque : $$F(x) = P(X \leq x) = \int_a^x f(t)\,dt$$3 pour toute variable continue, donc $$F(x) = P(X \leq x) = \int_a^x f(t)\,dt$$4.

Fonction de répartition

$$F(x) = P(X \leq x) = \int_a^x f(t)\,dt$$

Espérance et variance

$$E(X) = \int_a^b t\,f(t)\,dt \qquad V(X) = \int_a^b (t - E(X))^2 f(t)\,dt$$

Exemple : vérifier qu'une fonction est une densité

$$F(x) = P(X \leq x) = \int_a^x f(t)\,dt$$5 sur $$F(x) = P(X \leq x) = \int_a^x f(t)\,dt$$6 :

• Continue : fonction affine ✓
• Positive : $$F(x) = P(X \leq x) = \int_a^x f(t)\,dt$$7 ✓
• Intégrale : $$F(x) = P(X \leq x) = \int_a^x f(t)\,dt$$8 ✓