Loi des Grands Nombres et Estimation

Loi des Grands Nombres

Énoncé

Pour tout réel $\delta > 0$ :

$$\lim_{n \to +\infty} P(|M_n - E(X)| \geq \delta) = 0$$

Interprétation

Plus $n$ augmente, plus $M_n$ se concentre autour de $E(X)$. La moyenne observée converge vers l'espérance théorique.

Méthode d'estimation : déterminer la taille d'un échantillon

Énoncé : $X \sim \text{Bernoulli}(p = 0{,}2)$. Trouver $n$ pour que $P(M_n \in [0{,}03\,;\,0{,}37]) \geq 0{,}95$.

Correction :

1. $$\frac{V(X)}{n\delta^2} \leq 0{,}05 \iff \frac{0{,}16}{n \times 0{,}0289} \leq 0{,}05$$0. L'intervalle s'écrit $$\frac{V(X)}{n\delta^2} \leq 0{,}05 \iff \frac{0{,}16}{n \times 0{,}0289} \leq 0{,}05$$1, donc $$\frac{V(X)}{n\delta^2} \leq 0{,}05 \iff \frac{0{,}16}{n \times 0{,}0289} \leq 0{,}05$$2.

2. On veut $$\frac{V(X)}{n\delta^2} \leq 0{,}05 \iff \frac{0{,}16}{n \times 0{,}0289} \leq 0{,}05$$3, soit $$\frac{V(X)}{n\delta^2} \leq 0{,}05 \iff \frac{0{,}16}{n \times 0{,}0289} \leq 0{,}05$$4.

3. Par l'inégalité de concentration avec $$\frac{V(X)}{n\delta^2} \leq 0{,}05 \iff \frac{0{,}16}{n \times 0{,}0289} \leq 0{,}05$$5 :

$$\frac{V(X)}{n\delta^2} \leq 0{,}05 \iff \frac{0{,}16}{n \times 0{,}0289} \leq 0{,}05$$

1. Résolution :

$$n \geq \frac{0{,}16}{0{,}05 \times 0{,}0289} \approx 110{,}7$$

Il faut un échantillon de taille $$\frac{V(X)}{n\delta^2} \leq 0{,}05 \iff \frac{0{,}16}{n \times 0{,}0289} \leq 0{,}05$$6.