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La Loi Uniforme
Probabilités — Lois à Densité
Loi Uniforme
Définition
On dit que $X$ suit une loi uniforme sur $[a\,;\,b]$, notée $X \sim \mathcal{U}(a\,;\,b)$, si sa densité est constante :
$$f(x) = \frac{1}{b - a} \quad \text{pour } x \in [a\,;\,b]$$
Cas particulier : $\mathcal{U}(0\,;\,1)$
La densité est $f(x) = 1$ sur $[0\,;\,1]$. C'est le modèle du « choix au hasard » d'un nombre dans $[0\,;\,1]$.
Propriétés
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Densité | $f(x) = \dfrac{1}{b-a}$ |
| Fonction de répartition | $F(x) = \dfrac{x-a}{b-a}$ |
| Espérance | $E(X) = \dfrac{a+b}{2}$ |
| Variance | $V(X) = \dfrac{(b-a)^2}{12}$ |
Démonstration de l'espérance
$$E(X) = \int_a^b t \cdot \frac{1}{b-a}\,dt = \frac{1}{b-a} \left[\frac{t^2}{2}\right]_a^b = \frac{b^2 - a^2}{2(b-a)} = \frac{(b-a)(b+a)}{2(b-a)} = \frac{a+b}{2}$$
Interprétation géométrique
La densité constante correspond à un rectangle de largeur $b - a$ et de hauteur $\frac{1}{b-a}$, dont l'aire est 1.
La probabilité $P(c \leq X \leq d)$ est le rapport des longueurs :
$$P(c \leq X \leq d) = \frac{d - c}{b - a}$$