Généralités sur les Fonctions de Densité

Fonctions de Densité

Définition

Une fonction de densité est une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ vérifiant :

1. Continuité : $f$ est continue sur $I$
2. Positivité : $\forall x \in I,\; f(x) \geq 0$
3. Normalisation : $\displaystyle\int_I f(t)\,dt = 1$

Calcul de probabilité

Si $X$ est une variable aléatoire continue de densité $f$ sur $[a\,;\,b]$ :

$$P(c \leq X \leq d) = \int_c^d f(t)\,dt$$

Méthode de vérification

Pour prouver que $f$ est une densité sur $[a\,;\,b]$ :

1. Continuité : citer le type de fonction (polynomiale, exponentielle…)
2. Positivité : étudier le signe de $f$ sur $[a\,;\,b]$
3. Intégrale : calculer $\int_a^b f(t)\,dt$ et vérifier qu'elle vaut 1

Exemple

Démontrer que $f(x) = 0{,}5x - 1$ est une densité sur $[2\,;\,4]$.

• Continuité : $f$ est affine, donc continue sur $\mathbb{R}$
• Positivité : sur $[2\,;\,4]$, $x \geq 2 \Rightarrow 0{,}5x \geq 1 \Rightarrow f(x) \geq 0$
• Intégrale :

$$\int_2^4 (0{,}5t - 1)\,dt = \left[0{,}25t^2 - t\right]_2^4 = (4 - 4) - (1 - 2) = 0 - (-1) = 1 \quad \checkmark$$