Fonction de Répartition, Espérance et Variance

Indicateurs d'une Loi Continue

Pour $X$ de densité $f$ sur $[a\,;\,b]$, la fonction de répartition $F$ est :

$$F(x) = P(X \leq x) = \int_a^x f(t)\,dt$$

$F$ est croissante, continue, avec $F(a) = 0$ et $F(b) = 1$. De plus, $F'(x) = f(x)$.

$$E(X) = \int_a^b t\,f(t)\,dt$$

C'est la valeur moyenne théorique de la variable $X$.

$$V(X) = \int_a^b (t - E(X))^2\,f(t)\,dt = \int_a^b t^2\,f(t)\,dt - [E(X)]^2$$

L'écart-type est $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$.

$X$ (tonnes) suit la densité $f(x) = 0{,}015x - 0{,}00075x^2$ sur $[0\,;\,20]$.

Probabilité $P(X \geq 12)$ :

$$P(X \geq 12) = \int_{12}^{20} (0{,}015t - 0{,}00075t^2)\,dt = \left[0{,}0075t^2 - 0{,}00025t^3\right]_{12}^{20}$$

$$= 1 - 0{,}648 = 0{,}352$$

Espérance :

$$E(X) = \int_0^{20} t(0{,}015t - 0{,}00075t^2)\,dt = \left[0{,}005t^3 - 0{,}0001875t^4\right]_0^{20} = 40 - 30 = 10 \text{ tonnes}$$