Rappels : Variables Continues, Densité et Répartition

Rappels sur les Variables Continues

Fonction de densité

Une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ est une densité si :

1. $f$ est continue sur $I$
2. $f(x) \geq 0$ pour tout $x \in I$
3. $\displaystyle\int_I f(t)\,dt = 1$

Calcul de probabilités

$$P(X \in [c\,;\,d]) = \int_c^d f(t)\,dt$$

C'est l'aire sous la courbe de $f$ entre $c$ et $d$.

Remarque : $P(X = a) = 0$ pour toute variable continue, donc $P(X \leq a) = P(X < a)$.

Fonction de répartition

$$F(x) = P(X \leq x) = \int_a^x f(t)\,dt$$

Espérance et variance

$$E(X) = \int_a^b t\,f(t)\,dt \qquad V(X) = \int_a^b (t - E(X))^2 f(t)\,dt$$

Exemple : vérifier qu'une fonction est une densité

$f(x) = 0{,}5x - 1$ sur $[2\,;\,4]$ :

• Continue : fonction affine ✓
• Positive : $x \geq 2 \Rightarrow 0{,}5x - 1 \geq 0$ ✓
• Intégrale : $\int_2^4 (0{,}5t-1)\,dt = [0{,}25t^2 - t]_2^4 = 0-(-1) = 1$ ✓