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Moyenne d'un Échantillon et Inégalités Fondamentales
Lois Normales, Intervalles de Fluctuation et Estimation
Moyenne d'un Échantillon
Échantillon et variable moyenne
Soit $X_1, X_2, \ldots, X_n$ un échantillon de taille $n$ (variables i.i.d. de même loi que $X$).
$$M_n = \frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}{n}$$
Propriétés de $M_n$
| $X$ | $M_n$ | |
|---|---|---|
| Espérance | $E(X)$ | $E(M_n) = E(X)$ |
| Variance | $V(X)$ | $V(M_n) = \dfrac{V(X)}{n}$ |
| Écart-type | $\sigma(X)$ | $\sigma(M_n) = \dfrac{\sigma(X)}{\sqrt{n}}$ |
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Pour toute variable aléatoire $X$ et tout $\delta > 0$ :
$$P(|X - E(X)| \geq \delta) \leq \frac{V(X)}{\delta^2}$$
Inégalité de concentration
En appliquant Bienaymé-Tchebychev à $M_n$ :
$$P(|M_n - E(X)| \geq \delta) \leq \frac{V(X)}{n\,\delta^2}$$
Le second membre tend vers 0 quand $n \to +\infty$, ce qui prépare la loi des grands nombres.