Mathématiques
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Lois Usuelles : Uniforme et Exponentielle
Lois Normales, Intervalles de Fluctuation et Estimation
Lois Usuelles à Densité
Loi uniforme $\mathcal{U}(a\,;\,b)$
Modélise une équirépartition sur un intervalle.
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Densité | $f(x) = \dfrac{1}{b-a}$ |
| Répartition | $F(x) = \dfrac{x-a}{b-a}$ |
| Espérance | $E(X) = \dfrac{a+b}{2}$ |
| Variance | $V(X) = \dfrac{(b-a)^2}{12}$ |
Loi exponentielle $\mathcal{E}(\lambda)$
Modélise des durées de vie ou des temps d'attente sans usure.
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Densité | $f(x) = \lambda\,e^{-\lambda x}$ sur $[0\,;\,+\infty[$ |
| Répartition | $F(x) = 1 - e^{-\lambda x}$ |
| Espérance | $E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$ |
Propriété d'absence de mémoire
Pour tous $t, h > 0$ :
$$P_{X \geq t}(X \geq t+h) = P(X \geq h)$$
Forme simplifiée : $P_{X \geq a}(X \geq b) = P(X \geq b - a)$ pour $b > a$.
Application
$X \sim \mathcal{E}(0{,}0035)$, sachant $X \geq 200$, probabilité de panne avant 300h :
$$P_{X \geq 200}(X \leq 300) = P(X \leq 100) = 1 - e^{-0{,}35} \approx 0{,}3$$