Loi des Grands Nombres et Estimation

Loi des Grands Nombres

Énoncé

Pour tout réel $\delta > 0$ :

$$\lim_{n \to +\infty} P(|M_n - E(X)| \geq \delta) = 0$$

Interprétation

Plus $n$ augmente, plus $M_n$ se concentre autour de $E(X)$. La moyenne observée converge vers l'espérance théorique.

Méthode d'estimation : déterminer la taille d'un échantillon

Énoncé : $X \sim \text{Bernoulli}(p = 0{,}2)$. Trouver $n$ pour que $P(M_n \in [0{,}03\,;\,0{,}37]) \geq 0{,}95$.

Correction :

1. $E(X) = 0{,}2$. L'intervalle s'écrit $[0{,}2 - 0{,}17\,;\,0{,}2 + 0{,}17]$, donc $\delta = 0{,}17$.

2. On veut $P(|M_n - 0{,}2| < 0{,}17) \geq 0{,}95$, soit $P(|M_n - 0{,}2| \geq 0{,}17) \leq 0{,}05$.

3. Par l'inégalité de concentration avec $V(X) = p(1-p) = 0{,}16$ :

$$\frac{V(X)}{n\delta^2} \leq 0{,}05 \iff \frac{0{,}16}{n \times 0{,}0289} \leq 0{,}05$$

1. Résolution :

$$n \geq \frac{0{,}16}{0{,}05 \times 0{,}0289} \approx 110{,}7$$

Il faut un échantillon de taille $n \geq 111$.