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Polynômes du Second Degré
Vocabulaire de la Logique et Révisions Algébriques
Révisions : Polynômes du Second Degré
Forme Canonique et Discriminant
Tout trinôme $f(x) = ax^2 + bx + c$ ($a \neq 0$) peut s'écrire sous sa forme canonique :
$$f(x) = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right]$$
où le discriminant est : $\Delta = b^2 - 4ac$.
Résolution et Factorisation
| Signe de $\Delta$ | Racines | Forme factorisée |
|---|---|---|
| $\Delta > 0$ | $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ | $a(x - x_1)(x - x_2)$ |
| $\Delta = 0$ | $x_0 = -\frac{b}{2a}$ (racine double) | $a(x - x_0)^2$ |
| $\Delta < 0$ | Aucune racine réelle | Pas de factorisation |
Étude du Signe
- Si $\Delta > 0$ : le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines et du signe de $-a$ entre les racines.
- Si $\Delta \le 0$ : le trinôme est toujours du signe de $a$ (ou nul en $x_0$).
Variations
La courbe est une parabole de sommet $S\left(-\frac{b}{2a} ; f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$.
- Si $a > 0$ : décroissante puis croissante (parabole tournée vers le haut).
- Si $a < 0$ : croissante puis décroissante (parabole tournée vers le bas).
Relations de Viète
Pour un trinôme possédant deux racines $x_1$ et $x_2$ :
$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \quad \text{et} \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$
Deux nombres de somme $S$ et de produit $P$ sont les solutions de : $x^2 - Sx + P = 0$.