Mathématiques
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Introduction à la Logique Mathématique
Vocabulaire de la Logique et Révisions Algébriques
Introduction à la Logique Mathématique
Définition d'une proposition
Une proposition est un énoncé mathématique auquel on peut attribuer une valeur de vérité unique : il est soit vrai, soit faux.
Exemple : Considérons un quadrilatère $ABCD$ dans le plan.
- $P$ : « $ABCD$ est un carré »
- $Q$ : « $ABCD$ est un parallélogramme »
Selon la nature géométrique de $ABCD$, ces propositions possèdent une valeur de vérité (V ou F).
La Négation d'une proposition
La négation d'une proposition $P$ est notée $\bar{P}$ (ou « non $P$ »). Par définition, elle est fausse quand $P$ est vraie, et vraie quand $P$ est fausse.
Propriété : La négation de la négation est la proposition originale : $P \equiv \bar{\bar{P}}$.
Exemples de négations
| Proposition | Négation |
|---|---|
| $x > 2$ | $x \le 2$ |
| Pour tout réel $x$ : $0 \le x^2$ | Il existe un réel $x$ tel que $0 > x^2$ |
| $n$ est pair | $n$ est impair |
Négation des quantificateurs
- La négation de « $\forall x \in E, P(x)$ » est « $\exists x \in E, \overline{P(x)}$ »
- La négation de « $\exists x \in E, P(x)$ » est « $\forall x \in E, \overline{P(x)}$ »