Implications et Équivalences

L'implication $P \Rightarrow Q$

L'implication « si $P$, alors $Q$ » est définie logiquement par $(Q \vee \bar{P})$.

• Condition suffisante : $P$ est une condition suffisante pour $Q$.
• Condition nécessaire : $Q$ est une condition nécessaire pour $P$.

Exemple : Soit $P$ : « $ABCD$ est un carré » et $Q$ : « $ABCD$ est un parallélogramme ». On a $P \Rightarrow Q$.
Être un carré est suffisant pour être un parallélogramme. Être un parallélogramme est nécessaire pour être un carré.

Structures de preuve

• Modus Ponens : Si $P$ vraie et $P \Rightarrow Q$ vraie, alors $Q$ vraie.
• Modus Tollens : Si $Q$ fausse et $P \Rightarrow Q$ vraie, alors $P$ fausse (raisonnement par l'absurde).

Réciproque et Contraposée

Soit l'implication $P \Rightarrow Q$ :

• Réciproque : $Q \Rightarrow P$ — elle n'est pas nécessairement vraie.
• Contraposée : $\bar{Q} \Rightarrow \bar{P}$ — elle est rigoureusement équivalente à l'implication initiale.

Démonstration :
1. $P \Rightarrow Q \equiv (\bar{P} \vee Q)$
2. $\bar{Q} \Rightarrow \bar{P} \equiv (Q \vee \bar{P})$

Par commutativité du « ou », les deux expressions sont identiques.

Exemple : Démontrer que « si $n^2$ est impair, alors $n$ est impair ».
Par contraposition : « si $n$ est pair, alors $n^2$ est pair ».
Si $n = 2k$, alors $n^2 = 4k^2 = 2(2k^2)$, qui est pair. ✓

L'équivalence $P \Leftrightarrow Q$

L'équivalence (« si et seulement si ») est vraie lorsque l'implication et sa réciproque sont toutes deux vraies.