Connecteurs Logiques et Opérations sur les Ensembles
Vocabulaire de la Logique et Révisions Algébriques
Connecteurs Logiques et Opérations sur les Ensembles
Conjonction (« Et ») et Intersection
La proposition $P \wedge Q$ est vraie uniquement si $P$ et $Q$ sont simultanément vraies.
Lien avec les ensembles : Si $P$ représente $x \in I$ et $Q$ représente $x \in J$, alors $P \wedge Q$ équivaut à $x \in I \cap J$.
Disjonction (« Ou ») et Union
En mathématiques, le « ou » est inclusif. La proposition $P \vee Q$ est vraie si au moins l'une des deux propositions est vraie.
Lien avec les ensembles : $P \vee Q$ équivaut à $x \in I \cup J$.
Les Lois de Morgan
Ces lois fondamentales permettent de distribuer la négation sur les connecteurs :
$$\overline{P \vee Q} \equiv \bar{P} \wedge \bar{Q}$$
$$\overline{P \wedge Q} \equiv \bar{P} \vee \bar{Q}$$
Pour les ensembles $F$ et $G$ : $\overline{F \cup G} = \bar{F} \cap \bar{G}$ et $\overline{F \cap G} = \bar{F} \cup \bar{G}$.
Propriétés des opérations
| Propriété | Ensembles | Propositions |
|---|---|---|
| Commutativité | $F \cap G = G \cap F$ | $P \wedge Q \equiv Q \wedge P$ |
| Associativité | $F \cap (G \cap H) = (F \cap G) \cap H$ | $P \wedge (Q \wedge R) \equiv (P \wedge Q) \wedge R$ |
| Distributivité | $F \cap (G \cup H) = (F \cap G) \cup (F \cap H)$ | $P \wedge (Q \vee R) \equiv (P \wedge Q) \vee (P \wedge R)$ |
| Élément neutre | $F \cap \Omega = F$ ; $F \cup \emptyset = F$ | $P \wedge \text{Vrai} \equiv P$ ; $P \vee \text{Faux} \equiv P$ |