Théorèmes de Comparaison et d'Encadrement

Théorème des Gendarmes

Si au voisinage de $a$ : $g(x) \le f(x) \le h(x)$ et si :

$$\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L$$

alors $\lim_{x \to a} f(x) = L$.

Bornage des fonctions trigonométriques

$$\forall x \in \mathbb{R}, \quad -1 \le \sin(x) \le 1 \quad \text{et} \quad -1 \le \cos(x) \le 1$$

Ces inégalités sont systématiquement utilisées pour encadrer des expressions oscillantes.

Exemple : Pour $f(x) = \frac{\sin(x)}{x}$ quand $x \to +\infty$ :

$$-\frac{1}{x} \le \frac{\sin(x)}{x} \le \frac{1}{x}$$

Par le théorème des gendarmes : $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin(x)}{x} = 0$.