Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) et Bijection

Théorème des Valeurs Intermédiaires

Si $f$ est continue sur $[a; b]$, alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un $c \in [a; b]$ tel que $f(c) = k$.

Corollaire de la Bijection

Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a; b]$, alors pour tout $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution dans $[a; b]$.

Protocole de démonstration d'unicité

Pour montrer que $f(x) = k$ possède une unique solution $\alpha$ sur $I$ :

1. Justifier la continuité de $f$ sur $I$.
2. Établir la stricte monotonie (signe de $f'$).
3. Calculer les images des bornes ou les limites pour vérifier que $k \in f(I)$.
4. Conclure par le corollaire du TVI.

Méthode de dichotomie

La dichotomie permet d'approcher numériquement la solution $\alpha$ :
- Diviser l'intervalle en deux
- Tester le changement de signe de $f$
- Réduire l'intervalle de moitié à chaque étape