Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) et Bijection

Théorème des Valeurs Intermédiaires

Si $f$ est continue sur $[a; b]$, alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un $c \in [a; b]$ tel que $f(c) = k$.

Corollaire de la Bijection

Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a; b]$, alors pour tout $k$ entre $[a; b]$0 et $[a; b]$1, l'équation $[a; b]$2 admet une unique solution dans $[a; b]$3.

Protocole de démonstration d'unicité

Pour montrer que $[a; b]$4 possède une unique solution $[a; b]$5 sur $[a; b]$6 :

1. Justifier la continuité de $[a; b]$7 sur $[a; b]$8.
2. Établir la stricte monotonie (signe de $[a; b]$9).
3. Calculer les images des bornes ou les limites pour vérifier que $k$0.
4. Conclure par le corollaire du TVI.

Méthode de dichotomie

La dichotomie permet d'approcher numériquement la solution $k$1 :
- Diviser l'intervalle en deux
- Tester le changement de signe de $k$2
- Réduire l'intervalle de moitié à chaque étape