Synthèse Graphique et Convexité

Lien Dérivée / Variations

Le signe de $f'(x)$ détermine le sens de variation de $f$ :
- $f'(x) > 0$ sur $I$ ⟹ $f$ est strictement croissante sur $I$.
- $f'(x) < 0$ sur $I$ ⟹ $f$ est strictement décroissante sur $I$.

Convexité

• $f$ est convexe sur $I$ si $f'$ est croissante, c'est-à-dire $f''(x) \ge 0$.
• $f$ est concave sur $I$ si $f'$ est décroissante, c'est-à-dire $f''(x) \le 0$.

Interprétation graphique

• Convexe : la courbe est au-dessus de ses tangentes (en dessous de ses cordes).
• Concave : la courbe est en dessous de ses tangentes (au-dessus de ses cordes).

Point d'inflexion

$A(a; f(a))$ est un point d'inflexion si $f''$ s'annule et change de signe en $a$.

Ce point marque un changement de convexité : la courbe traverse sa tangente.