Opérations et Levée d'Indétermination

Formes Indéterminées (FI)

Les opérations sur les limites peuvent produire des formes indéterminées :

$$\infty - \infty \qquad 0 \times \infty \qquad \frac{0}{0} \qquad \frac{\infty}{\infty}$$

Dans ces cas, le calcul direct est impossible et il faut lever l'indétermination.

Factorisation par le terme de plus haut degré

Pour un polynôme $P(x) = ax^2 + bx + c$ :

$$P(x) = x^2\left(a + \frac{b}{x} + \frac{c}{x^2}\right)$$

Comme $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{b}{x} = 0$ et $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{c}{x^2} = 0$ :

$$\lim_{x \to \pm\infty} P(x) = \lim_{x \to \pm\infty} ax^2$$

Règle générale : La limite d'un polynôme à l'infini est celle de son monôme de plus haut degré.

Application aux fractions rationnelles

Pour $\frac{P(x)}{Q(x)}$, on factorise numérateur et dénominateur par leur monôme dominant.