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Limites de Fonctions : Fondements
Limites et Continuité des Fonctions
Limites de Fonctions : Fondements
Limite en $+\infty$
$f(x)$ a pour limite $L$ en $+\infty$ si, pour tout intervalle ouvert contenant $L$, toutes les valeurs de $f(x)$ finissent par appartenir à cet intervalle pour $x$ suffisamment grand :
$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$$
Limite en un réel $a$
$$\lim_{x \to a} f(x) = L$$
signifie que $f(x)$ devient arbitrairement proche de $L$ lorsque $x$ tend vers $a$.
Synthèse des comportements
| Type de limite | Notation | Conséquence graphique |
|---|---|---|
| Finie à l'infini | $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$ | Asymptote horizontale $y = L$ |
| Infinie à l'infini | $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty$ | Branche infinie |
| Infinie en un point | $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$ | Asymptote verticale $x = a$ |
Convergence matricielle
Pour une suite de vecteurs colonnes $U_n = \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix}$ :
$$\lim_{n \to +\infty} U_n = \begin{pmatrix} L_1 \\ L_2 \end{pmatrix} \iff \lim u_n = L_1 \text{ et } \lim v_n = L_2$$