Suites de Matrices Colonnes

Modèle $U_{n+1} = AU_n + B$

Soit $(U_n)$ une suite de matrices colonnes.

Cas homogène ($B = 0$)

$$U_{n+1} = AU_n \implies U_n = A^n U_0$$

Cas général ($B \neq 0$)

1. On cherche l'état stable (point fixe) $\Omega$ tel que $\Omega = A\Omega + B$.
2. On résout $(I - A)\Omega = B$ pour obtenir $\Omega$.
3. On pose $$U_n = \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix},\quad A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}$$0, ce qui donne la suite géométrique : $$U_n = \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix},\quad A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}$$1.
4. Terme général : $$U_n = \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix},\quad A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}$$2.

Suites couplées

Le formalisme matriciel résout les systèmes de suites.

Exemple : si $$U_n = \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix},\quad A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}$$3 et $$U_n = \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix},\quad A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}$$4, on pose :

$$U_n = \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix},\quad A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}$$

d'où $$U_n = \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix},\quad A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}$$5.

Recherche de l'état stable

Pour trouver $$U_n = \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix},\quad A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}$$6, résoudre $$U_n = \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix},\quad A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}$$7 :
- Si $$U_n = \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix},\quad A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}$$8 est inversible : $$U_n = \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix},\quad A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}$$9.