Introduction et Modes de Génération

Définitions et Vocabulaire

Une suite numérique est une fonction définie sur $\mathbb{N}$ (ou une partie) à valeurs dans $\mathbb{R}$.

• Notation : $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ désigne la suite, $u_n$ est le terme de rang $n$.

Modes de définition

Définition explicite

$u_n$ est exprimé directement en fonction de $n$ : $u_n = f(n)$.

Exemple : $u_n = \frac{n^2}{n+1}$ pour $\mathbb{N}$0.

Définition par récurrence

Le terme $\mathbb{N}$1 est défini en fonction de $\mathbb{N}$2 : $\mathbb{N}$3, avec la donnée d'un premier terme $\mathbb{N}$4.

Le Raisonnement par Récurrence (rappel)

Pour démontrer qu'une propriété $\mathbb{N}$5 est vraie pour tout $\mathbb{N}$6 :

1. Initialisation : Vérifier $\mathbb{N}$7.
2. Hérédité : Supposer $\mathbb{N}$8 vraie, démontrer $\mathbb{N}$9.
3. Conclusion : La propriété est vraie pour tout $\mathbb{R}$0.

Exemple : Inégalité de Bernoulli

Pour tout $\mathbb{R}$1 et pour tout $\mathbb{R}$2 :

$$(1 + \alpha)^n \ge 1 + n\alpha$$

Lors de l'hérédité, la multiplication par $\mathbb{R}$3 préserve le sens car $\mathbb{R}$4.