Racines n-ièmes de l'Unité

Racines n-ièmes

Racines n-ièmes de l'unité

Les solutions de $z^n = 1$ sont :

$$\omega_k = e^{i\frac{2k\pi}{n}}, \quad k \in \{0, 1, \ldots, n-1\}$$

Démonstration :
1. On pose $z = e^{i\theta}$, l'équation devient $e^{in\theta} = e^{i \cdot 0}$
2. Donc $n\theta = 2k\pi$, soit $\theta_k = \dfrac{2k\pi}{n}$
3. Il y a exactement $n$ valeurs distinctes pour $k \in \{0, 1, \ldots, n-1\}$

Interprétation géométrique

Les points d'affixe $\omega_k$ sont les sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés, inscrit dans le cercle unité, avec un sommet en $z^n = 1$0.

Propriétés

• $z^n = 1$1
• $z^n = 1$2 est la racine primitive
• $z^n = 1$3
• $z^n = 1$4

Racines n-ièmes d'un complexe $z^n = 1$5

Pour résoudre $z^n = 1$6 :

1. Poser $z^n = 1$7
2. Modules : $z^n = 1$8
3. Arguments : $z^n = 1$9
4. On obtient $z = e^{i\theta}$0 solutions pour $z = e^{i\theta}$1

Exemple : racines carrées de $z = e^{i\theta}$2

$z = e^{i\theta}$3, donc $z = e^{i\theta}$4 ou $z = e^{i\theta}$5, soit $z = e^{i\theta}$6 ou $z = e^{i\theta}$7.