Mathématiques
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Introduction et Fondements de l'Ensemble C
Les Nombres Complexes
Introduction et Fondements de $\mathbb{C}$
Motivation
L'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes a été conçu pour résoudre des équations impossibles dans $\mathbb{R}$, comme $x^2 + 1 = 0$.
Unité imaginaire
L'ensemble $\mathbb{C}$ contient $$z = a + ib, \quad (a, b) \in \mathbb{R}^2$$0 et possède un élément $$z = a + ib, \quad (a, b) \in \mathbb{R}^2$$1 tel que :
$$i^2 = -1$$
Forme algébrique
Tout nombre complexe $$z = a + ib, \quad (a, b) \in \mathbb{R}^2$$2 s'écrit de manière unique sous la forme :
$$z = a + ib, \quad (a, b) \in \mathbb{R}^2$$
- $$z = a + ib, \quad (a, b) \in \mathbb{R}^2$$3 : partie réelle
- $$z = a + ib, \quad (a, b) \in \mathbb{R}^2$$4 : partie imaginaire
Condition d'égalité
$$a + ib = a' + ib' \iff \begin{cases} a = a' \\ b = b' \end{cases}$$
Opérations fondamentales
Addition :
$$(a + ib) + (a' + ib') = (a + a') + i(b + b')$$
Multiplication :
$$(a + ib)(a' + ib') = (aa' - bb') + i(ab' + ba')$$
Cas particuliers
- $$z = a + ib, \quad (a, b) \in \mathbb{R}^2$$5 est réel si $$z = a + ib, \quad (a, b) \in \mathbb{R}^2$$6
- $$z = a + ib, \quad (a, b) \in \mathbb{R}^2$$7 est imaginaire pur si $$z = a + ib, \quad (a, b) \in \mathbb{R}^2$$8