Forme Trigonométrique et Notation Exponentielle

Forme Trigonométrique et Exponentielle

Forme trigonométrique

Tout nombre complexe non nul $z$ de module $r$ et d'argument $\theta$ s'écrit :

$$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$$

Notation exponentielle (formule d'Euler)

Pour tout réel $\theta$ :

$$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$$

D'où la forme exponentielle : $z = r\,e^{i\theta}$

Méthode : passage algébrique → exponentielle

Pour $z = 3 - 3i$ :

1. Module : $$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$$0
2. Argument : $$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$$1, $$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$$2
3. Donc $$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$$3
4. Résultat : $$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$$4

Formule de Moivre

Pour tout $$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$$5 et $$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$$6 :

$$(e^{i\theta})^n = e^{in\theta} \iff (\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$$

Formules d'Euler

$$\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}, \quad \sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$$

Propriétés de l'exponentielle complexe

• $$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$$7
• $$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$$8
• Relation d'Euler : $$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$$9, soit $$(e^{i\theta})^n = e^{in\theta} \iff (\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$$0