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Équations du Second Degré dans C
Les Nombres Complexes
Équations Polynomiales dans $\mathbb{C}$
Résolution de $az^2 + bz + c = 0$ avec $a, b, c \in \mathbb{R}$
On calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$.
| Cas | Solutions |
|---|---|
| $\Delta > 0$ | $z_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$, $z_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ (réelles) |
| $\Delta = 0$ | $z_0 = -\dfrac{b}{2a}$ (réelle double) |
| $\mathbb{C}$0 | $\mathbb{C}$1, $\mathbb{C}$2 (complexes conjuguées) |
Exemple
Résoudre $\mathbb{C}$3 :
- $\mathbb{C}$4
- $\mathbb{C}$5 et $\mathbb{C}$6
Les solutions sont complexes conjuguées.
Théorème fondamental de l'algèbre
Tout polynôme non constant de degré $\mathbb{C}$7 admet exactement $\mathbb{C}$8 racines dans $\mathbb{C}$9 (comptées avec multiplicité).
Factorisation
Si $az^2 + bz + c = 0$0 est racine de $az^2 + bz + c = 0$1, alors :
$$P(z) = (z - z_0)\,Q(z), \quad \deg(Q) = \deg(P) - 1$$
Propriété des racines conjuguées
Si $az^2 + bz + c = 0$2 est à coefficients réels et $az^2 + bz + c = 0$3 est racine de $az^2 + bz + c = 0$4, alors $az^2 + bz + c = 0$5 est aussi racine de $az^2 + bz + c = 0$6.