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Conjugué et Propriétés Algébriques
Les Nombres Complexes
Conjugué et Propriétés
Définition
Pour $z = a + ib$, le conjugué de $z$ est :
$$\bar{z} = a - ib$$
Géométriquement, le point d'affixe $\bar{z}$ est le symétrique du point d'affixe $z$ par rapport à l'axe des réels.
Propriétés du conjugué
Pour tous $z, z' \in \mathbb{C}$ et $n \in \mathbb{N}$ :
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Linéarité | $\overline{z + z'} = \bar{z} + \bar{z}'$ |
| Produit | $$z\bar{z} = (a + ib)(a - ib) = a^2 + b^2$$0 |
| Puissance | $$z\bar{z} = (a + ib)(a - ib) = a^2 + b^2$$1 |
| Quotient | $$z\bar{z} = (a + ib)(a - ib) = a^2 + b^2$$2 |
Caractérisation
- $$z\bar{z} = (a + ib)(a - ib) = a^2 + b^2$$3 est réel $$z\bar{z} = (a + ib)(a - ib) = a^2 + b^2$$4
- $$z\bar{z} = (a + ib)(a - ib) = a^2 + b^2$$5 est imaginaire pur $$z\bar{z} = (a + ib)(a - ib) = a^2 + b^2$$6
Relation fondamentale
$$z\bar{z} = (a + ib)(a - ib) = a^2 + b^2$$
Ce produit est toujours un réel positif et correspond au carré du module de $$z\bar{z} = (a + ib)(a - ib) = a^2 + b^2$$7.
Application : Division de complexes
Pour calculer $$z\bar{z} = (a + ib)(a - ib) = a^2 + b^2$$8, on multiplie numérateur et dénominateur par $$z\bar{z} = (a + ib)(a - ib) = a^2 + b^2$$9 :
$$\frac{z}{z'} = \frac{z \cdot \bar{z}'}{z' \cdot \bar{z}'} = \frac{z \cdot \bar{z}'}{|z'|^2}$$