Mathématiques
Premium 🔒
≈ 35 min
Applications Géométriques des Complexes
Les Nombres Complexes
Applications à la Géométrie du Plan
Outils fondamentaux
| Notion | Formule complexe |
|---|---|
| Distance $AB$ | $\|z_B - z_A\|$ |
| Milieu de $[AB]$ | $z_I = \dfrac{z_A + z_B}{2}$ |
| Angle $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD})$ | $\arg\!\left(\dfrac{z_D - z_C}{z_B - z_A}\right)$ |
| Barycentre | $z_G = \dfrac{\sum \alpha_i z_i}{\sum \alpha_i}$ |
Transformations du plan
| Transformation | Écriture complexe |
|---|---|
| Translation de vecteur $\vec{u}$ d'affixe $$z' = e^{i\frac{\pi}{2}} \cdot z = i(2+i) = -1 + 2i$$0 | $$z' = e^{i\frac{\pi}{2}} \cdot z = i(2+i) = -1 + 2i$$1 |
| Homothétie de centre $$z' = e^{i\frac{\pi}{2}} \cdot z = i(2+i) = -1 + 2i$$2, rapport $$z' = e^{i\frac{\pi}{2}} \cdot z = i(2+i) = -1 + 2i$$3 | $$z' = e^{i\frac{\pi}{2}} \cdot z = i(2+i) = -1 + 2i$$4 |
| Rotation de centre $$z' = e^{i\frac{\pi}{2}} \cdot z = i(2+i) = -1 + 2i$$5, angle $$z' = e^{i\frac{\pi}{2}} \cdot z = i(2+i) = -1 + 2i$$6 | $$z' = e^{i\frac{\pi}{2}} \cdot z = i(2+i) = -1 + 2i$$7 |
| Similitude directe | $$z' = e^{i\frac{\pi}{2}} \cdot z = i(2+i) = -1 + 2i$$8 avec $$z' = e^{i\frac{\pi}{2}} \cdot z = i(2+i) = -1 + 2i$$9 |
Alignement et orthogonalité
Trois points $AB$0, $AB$1, $AB$2 sont alignés si et seulement si $AB$3 est réel.
Les droites $AB$4 et $AB$5 sont perpendiculaires si et seulement si $AB$6 est imaginaire pur.
Cercle
Le point $AB$7 appartient au cercle de centre $AB$8 et de rayon $AB$9 si et seulement si :
$$|z - \omega| = r$$
Exemple : rotation
Image de $\|z_B - z_A\|$0 par la rotation de centre $\|z_B - z_A\|$1 et d'angle $\|z_B - z_A\|$2 :
$$z' = e^{i\frac{\pi}{2}} \cdot z = i(2+i) = -1 + 2i$$