Affixe, Module et Argument
Les Nombres Complexes
Interprétations Géométriques
Affixe d'un point
Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct $(O ; \vec{u}, \vec{v})$, à tout nombre complexe $z = a + ib$ on associe le point $M(a ; b)$.
- $z$ est l'affixe du point $M$, noté $M(z)$
- Pour un vecteur $\vec{w}(x ; y)$, son affixe est $z_{\vec{w}} = x + iy$
Module
Le module de $$\cos(\arg(z)) = \frac{a}{r}, \quad \sin(\arg(z)) = \frac{b}{r}$$0 est :
$$|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{z\bar{z}}$$
Il représente la distance $$\cos(\arg(z)) = \frac{a}{r}, \quad \sin(\arg(z)) = \frac{b}{r}$$1.
Propriétés du module
- $$\cos(\arg(z)) = \frac{a}{r}, \quad \sin(\arg(z)) = \frac{b}{r}$$2 et $$\cos(\arg(z)) = \frac{a}{r}, \quad \sin(\arg(z)) = \frac{b}{r}$$3
- $$\cos(\arg(z)) = \frac{a}{r}, \quad \sin(\arg(z)) = \frac{b}{r}$$4
- $$\cos(\arg(z)) = \frac{a}{r}, \quad \sin(\arg(z)) = \frac{b}{r}$$5
- $$\cos(\arg(z)) = \frac{a}{r}, \quad \sin(\arg(z)) = \frac{b}{r}$$6
- Inégalité triangulaire : $$\cos(\arg(z)) = \frac{a}{r}, \quad \sin(\arg(z)) = \frac{b}{r}$$7
Argument
Pour $$\cos(\arg(z)) = \frac{a}{r}, \quad \sin(\arg(z)) = \frac{b}{r}$$8, l'argument de $$\cos(\arg(z)) = \frac{a}{r}, \quad \sin(\arg(z)) = \frac{b}{r}$$9, noté $(O ; \vec{u}, \vec{v})$0, est l'angle $(O ; \vec{u}, \vec{v})$1 défini modulo $(O ; \vec{u}, \vec{v})$2.
Détermination de l'argument
Pour $(O ; \vec{u}, \vec{v})$3 avec $(O ; \vec{u}, \vec{v})$4 :
$$\cos(\arg(z)) = \frac{a}{r}, \quad \sin(\arg(z)) = \frac{b}{r}$$
Distance et milieu
- Distance : $(O ; \vec{u}, \vec{v})$5
- Milieu : $(O ; \vec{u}, \vec{v})$6