Propriétés Fondamentales du Barycentre

Propriétés

Homogénéité

Le barycentre est inchangé si l'on multiplie tous les coefficients par un même réel $k \neq 0$ :

$$\text{bar}\{(A, \alpha), (B, \beta)\} = \text{bar}\{(A, k\alpha), (B, k\beta)\}$$

Associativité (barycentre partiel)

On peut remplacer un sous-système par son barycentre affecté de la somme des coefficients.

Si $G = \text{bar}\{(A, \alpha), (B, \beta), (C, \gamma)\}$ et $\alpha + \beta \neq 0$, en posant $G_1 = \text{bar}\{(A, \alpha), (B, \beta)\}$ :

$$G = \text{bar}\{(G_1, \alpha + \beta), (C, \gamma)\}$$

Cette propriété permet de construire $G$ par étapes géométriques.

Isobarycentre

Si tous les coefficients sont égaux et non nuls, le barycentre est appelé isobarycentre :

• Milieu : isobarycentre de $\{(A, 1), (B, 1)\}$
• Centre de gravité d'un triangle : isobarycentre de $$G = \text{bar}\{(G_1, \alpha + \beta), (C, \gamma)\}$$0

$$\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}$$

Théorème de la médiane

Pour un triangle $$G = \text{bar}\{(G_1, \alpha + \beta), (C, \gamma)\}$$1 avec $$G = \text{bar}\{(G_1, \alpha + \beta), (C, \gamma)\}$$2 milieu de $$G = \text{bar}\{(G_1, \alpha + \beta), (C, \gamma)\}$$3 :

$$2AA'^2 = AB^2 + AC^2 - \frac{1}{2}BC^2$$

Preuve : On utilise $$G = \text{bar}\{(G_1, \alpha + \beta), (C, \gamma)\}$$4 et on développe le carré scalaire.