Mathématiques
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Introduction aux Systèmes de Points Pondérés
Le Barycentre dans le Plan et l'Espace
Systèmes de Points Pondérés
Définitions
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Point pondéré : couple $(A, \alpha)$ où $A$ est un point et $\alpha \in \mathbb{R}$ est le coefficient (ou masse).
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Système de points pondérés : ensemble de $n$ points associés à des réels :
$$S = \{(A_i, \alpha_i)\}_{1 \leq i \leq n}$$
Condition d'existence du barycentre
Le barycentre du système $S$ existe et est unique si et seulement si :
$$\sum_{i=1}^{n} \alpha_i \neq 0$$
Cas dégénéré
Si $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \alpha_i = 0$, le vecteur $\displaystyle\sum \alpha_i \vec{MA_i}$ est constant quel que soit $M$, mais le système n'admet pas de barycentre (pas de point d'équilibre unique).
Exemples de systèmes
| Système | Somme des coefficients | Barycentre ? |
|---|---|---|
| $$\sum_{i=1}^{n} \alpha_i \neq 0$$0 | $$\sum_{i=1}^{n} \alpha_i \neq 0$$1 | Oui |
| $$\sum_{i=1}^{n} \alpha_i \neq 0$$2 | $$\sum_{i=1}^{n} \alpha_i \neq 0$$3 | Non |
| $$\sum_{i=1}^{n} \alpha_i \neq 0$$4 | $$\sum_{i=1}^{n} \alpha_i \neq 0$$5 | Oui (isobarycentre) |