Définition Vectorielle du Barycentre
Le Barycentre dans le Plan et l'Espace
Définition Vectorielle
Définition fondamentale
Le barycentre $G$ du système $\{(A_1, \alpha_1), \ldots, (A_n, \alpha_n)\}$ est l'unique point vérifiant :
$$\sum_{i=1}^{n} \alpha_i \, \vec{GA_i} = \vec{0}$$
Cas de deux points
Pour $\{(A, \alpha), (B, \beta)\}$ avec $\alpha + \beta \neq 0$ :
$$\alpha \, \vec{GA} + \beta \, \vec{GB} = \vec{0}$$
D'où : $\vec{AG} = \dfrac{\beta}{\alpha + \beta} \, \vec{AB}$
Le point $$\alpha \, \vec{GA} + \beta \, \vec{GB} = \vec{0}$$0 divise le segment $$\alpha \, \vec{GA} + \beta \, \vec{GB} = \vec{0}$$1 dans le rapport $$\alpha \, \vec{GA} + \beta \, \vec{GB} = \vec{0}$$2.
Formule de réduction vectorielle
Pour tout point $$\alpha \, \vec{GA} + \beta \, \vec{GB} = \vec{0}$$3 de l'espace :
$$\sum_{i=1}^{n} \alpha_i \, \vec{MA_i} = \left(\sum_{i=1}^{n} \alpha_i\right) \vec{MG}$$
Démonstration (par relation de Chasles) :
$$\sum \alpha_i \vec{MA_i} = \sum \alpha_i (\vec{MG} + \vec{GA_i}) = \left(\sum \alpha_i\right) \vec{MG} + \underbrace{\sum \alpha_i \vec{GA_i}}_{= \vec{0}} = \left(\sum \alpha_i\right) \vec{MG}$$
Coordonnées du barycentre
$$x_G = \frac{\sum \alpha_i \, x_i}{\sum \alpha_i}, \quad y_G = \frac{\sum \alpha_i \, y_i}{\sum \alpha_i}, \quad z_G = \frac{\sum \alpha_i \, z_i}{\sum \alpha_i}$$