Applications Géométriques
Le Barycentre dans le Plan et l'Espace
Applications Géométriques
Points remarquables d'un triangle
| Point | Système barycentrique |
|---|---|
| Milieu de $[AB]$ | $\text{bar}\{(A, 1), (B, 1)\}$ |
| Centre de gravité | $\text{bar}\{(A, 1), (B, 1), (C, 1)\}$ |
| Centre du cercle inscrit | $\text{bar}\{(A, a), (B, b), (C, c)\}$ où $a, b, c$ sont les longueurs des côtés opposés |
Lieux géométriques
Le barycentre permet de caractériser des ensembles de points vérifiant une condition vectorielle.
Exemple : Trouver le lieu des points $M$ tels que $2\|\vec{MA}\|^2 + \|\vec{MB}\|^2 = k$.
On utilise la formule de réduction : $2\vec{MA} + \vec{MB} = 3\vec{MG}$ où $$x_G = \frac{\sum \alpha_i x_i}{\sum \alpha_i}, \quad y_G = \frac{\sum \alpha_i y_i}{\sum \alpha_i}, \quad z_G = \frac{\sum \alpha_i z_i}{\sum \alpha_i}$$0.
Puis avec le développement des normes au carré, on obtient une équation de cercle.
Position du barycentre de deux points
Le barycentre $$x_G = \frac{\sum \alpha_i x_i}{\sum \alpha_i}, \quad y_G = \frac{\sum \alpha_i y_i}{\sum \alpha_i}, \quad z_G = \frac{\sum \alpha_i z_i}{\sum \alpha_i}$$1 de $$x_G = \frac{\sum \alpha_i x_i}{\sum \alpha_i}, \quad y_G = \frac{\sum \alpha_i y_i}{\sum \alpha_i}, \quad z_G = \frac{\sum \alpha_i z_i}{\sum \alpha_i}$$2 est situé sur le segment $$x_G = \frac{\sum \alpha_i x_i}{\sum \alpha_i}, \quad y_G = \frac{\sum \alpha_i y_i}{\sum \alpha_i}, \quad z_G = \frac{\sum \alpha_i z_i}{\sum \alpha_i}$$3 si $$x_G = \frac{\sum \alpha_i x_i}{\sum \alpha_i}, \quad y_G = \frac{\sum \alpha_i y_i}{\sum \alpha_i}, \quad z_G = \frac{\sum \alpha_i z_i}{\sum \alpha_i}$$4 et $$x_G = \frac{\sum \alpha_i x_i}{\sum \alpha_i}, \quad y_G = \frac{\sum \alpha_i y_i}{\sum \alpha_i}, \quad z_G = \frac{\sum \alpha_i z_i}{\sum \alpha_i}$$5 sont de même signe, et à l'extérieur sinon.
$$\vec{AG} = \frac{\beta}{\alpha + \beta}\vec{AB}$$
- Si $$x_G = \frac{\sum \alpha_i x_i}{\sum \alpha_i}, \quad y_G = \frac{\sum \alpha_i y_i}{\sum \alpha_i}, \quad z_G = \frac{\sum \alpha_i z_i}{\sum \alpha_i}$$6 et $$x_G = \frac{\sum \alpha_i x_i}{\sum \alpha_i}, \quad y_G = \frac{\sum \alpha_i y_i}{\sum \alpha_i}, \quad z_G = \frac{\sum \alpha_i z_i}{\sum \alpha_i}$$7 : $$x_G = \frac{\sum \alpha_i x_i}{\sum \alpha_i}, \quad y_G = \frac{\sum \alpha_i y_i}{\sum \alpha_i}, \quad z_G = \frac{\sum \alpha_i z_i}{\sum \alpha_i}$$8 est entre $$x_G = \frac{\sum \alpha_i x_i}{\sum \alpha_i}, \quad y_G = \frac{\sum \alpha_i y_i}{\sum \alpha_i}, \quad z_G = \frac{\sum \alpha_i z_i}{\sum \alpha_i}$$9 et $[AB]$0
- Si $[AB]$1 et $[AB]$2 de signes opposés : $[AB]$3 est à l'extérieur de $[AB]$4
Barycentre dans l'espace
Les définitions et propriétés sont identiques dans $[AB]$5 :
$$x_G = \frac{\sum \alpha_i x_i}{\sum \alpha_i}, \quad y_G = \frac{\sum \alpha_i y_i}{\sum \alpha_i}, \quad z_G = \frac{\sum \alpha_i z_i}{\sum \alpha_i}$$