Affixe du Barycentre
Le Barycentre dans le Plan et l'Espace
Barycentre et Nombres Complexes
Formule de l'affixe
Pour un système $\{(A, \alpha), (B, \beta), (C, \gamma)\}$ dans le plan complexe, l'affixe du barycentre $G$ est :
$$z_G = \frac{\alpha z_A + \beta z_B + \gamma z_C}{\alpha + \beta + \gamma}$$
Cas général à $n$ points
$$z_G = \frac{\sum_{i=1}^{n} \alpha_i z_{A_i}}{\sum_{i=1}^{n} \alpha_i}$$
Cas particuliers
Milieu de $[AB]$ (coefficients égaux) :
$$z_I = \frac{z_A + z_B}{2}$$
Centre de gravité du triangle $ABC$ :
$$z_G = \frac{z_A + z_B + z_C}{3}$$
Exemple
Soient $$z_G = \frac{\sum_{i=1}^{n} \alpha_i z_{A_i}}{\sum_{i=1}^{n} \alpha_i}$$0, $$z_G = \frac{\sum_{i=1}^{n} \alpha_i z_{A_i}}{\sum_{i=1}^{n} \alpha_i}$$1, $$z_G = \frac{\sum_{i=1}^{n} \alpha_i z_{A_i}}{\sum_{i=1}^{n} \alpha_i}$$2 avec les coefficients $$z_G = \frac{\sum_{i=1}^{n} \alpha_i z_{A_i}}{\sum_{i=1}^{n} \alpha_i}$$3 :
$$z_G = \frac{2(2+i) + 1(-1+3i) + 1(i)}{2+1+1} = \frac{4+2i-1+3i+i}{4} = \frac{3+6i}{4}$$
Lien avec les coordonnées
Si $$z_G = \frac{\sum_{i=1}^{n} \alpha_i z_{A_i}}{\sum_{i=1}^{n} \alpha_i}$$4, alors $$z_G = \frac{\sum_{i=1}^{n} \alpha_i z_{A_i}}{\sum_{i=1}^{n} \alpha_i}$$5 où $$z_G = \frac{\sum_{i=1}^{n} \alpha_i z_{A_i}}{\sum_{i=1}^{n} \alpha_i}$$6 et $$z_G = \frac{\sum_{i=1}^{n} \alpha_i z_{A_i}}{\sum_{i=1}^{n} \alpha_i}$$7 sont les coordonnées du barycentre.