Propriétés Algébriques du Logarithme

Propriétés Algébriques

Transformation produit → somme

Pour tous $a, b > 0$ :

$$\ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b)$$

Quotient et puissance

$$\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b) \qquad \ln(a^n) = n\,\ln(a)$$

Racine carrée

$$\ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2}\ln(a)$$

Puissances réelles

Pour tout $a > 0$ et tout réel $b$ :

$$a^b = e^{b\,\ln(a)}$$

Applications

• Résolution d'équations : $2^x = 5 \iff e^{x\ln 2} = 5 \iff x = \dfrac{\ln 5}{\ln 2}$
• Simplifications : $\ln(8) = \ln(2^3) = 3\ln(2)$