Logarithme Népérien et Calcul Intégral
La Fonction Logarithme Népérien
ln et Intégration
Définition intégrale
La fonction $\ln$ est l'unique primitive de $x \mapsto \frac{1}{x}$ sur $]0\,;\,+\infty[$ qui s'annule en 1 :
$$\ln(x) = \int_1^x \frac{1}{t}\,dt$$
Primitives de $\frac{u'}{u}$
Si $u$ est dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$, alors les primitives de $$F(x) = \ln(u(x)) + C, \quad C \in \mathbb{R}$$0 sont :
$$F(x) = \ln(u(x)) + C, \quad C \in \mathbb{R}$$
Exemples de calcul
$$\int_1^e \frac{1}{t}\,dt = [\ln(t)]_1^e = \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1$$
$$\int_1^2 \frac{2x}{x^2 + 1}\,dx = [\ln(x^2 + 1)]_1^2 = \ln(5) - \ln(2)$$
Aire sous la courbe
L'aire sous la courbe de $$F(x) = \ln(u(x)) + C, \quad C \in \mathbb{R}$$1 entre $$F(x) = \ln(u(x)) + C, \quad C \in \mathbb{R}$$2 et $$F(x) = \ln(u(x)) + C, \quad C \in \mathbb{R}$$3 (avec $$F(x) = \ln(u(x)) + C, \quad C \in \mathbb{R}$$4) vaut $$F(x) = \ln(u(x)) + C, \quad C \in \mathbb{R}$$5.