Applications et Exercices Types

Applications du Logarithme

Résolution d'équations logarithmiques

Pour résoudre $\ln(A(x)) = \ln(B(x))$ :

1. Ensemble de validité : $A(x) > 0$ et $B(x) > 0$
2. Bijectivité : $\ln(A) = \ln(B) \iff A = B$ (car $\ln$ strictement croissante)
3. Vérification : les solutions doivent appartenir à l'ensemble de validité

Exemple

Résoudre $\ln(2x - 1) = \ln(x + 3)$.

• Validité : $2x - 1 > 0$ et $x + 3 > 0 \Rightarrow x > \frac{1}{2}$
• Équation : $$\frac{\ln(x)}{x} = \frac{X}{e^X} \xrightarrow[X \to +\infty]{} 0$$0
• Vérification : $$\frac{\ln(x)}{x} = \frac{X}{e^X} \xrightarrow[X \to +\infty]{} 0$$1 ✓

Croissances comparées

Résultat fondamental :

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$$

Démonstration : posons $$\frac{\ln(x)}{x} = \frac{X}{e^X} \xrightarrow[X \to +\infty]{} 0$$2, alors $$\frac{\ln(x)}{x} = \frac{X}{e^X} \xrightarrow[X \to +\infty]{} 0$$3 et quand $$\frac{\ln(x)}{x} = \frac{X}{e^X} \xrightarrow[X \to +\infty]{} 0$$4, $$\frac{\ln(x)}{x} = \frac{X}{e^X} \xrightarrow[X \to +\infty]{} 0$$5.

$$\frac{\ln(x)}{x} = \frac{X}{e^X} \xrightarrow[X \to +\infty]{} 0$$

Car $$\frac{\ln(x)}{x} = \frac{X}{e^X} \xrightarrow[X \to +\infty]{} 0$$6 (l'exponentielle l'emporte).

Résolution d'inéquations

$$\frac{\ln(x)}{x} = \frac{X}{e^X} \xrightarrow[X \to +\infty]{} 0$$7 (croissance de $$\frac{\ln(x)}{x} = \frac{X}{e^X} \xrightarrow[X \to +\infty]{} 0$$8)

$$\frac{\ln(x)}{x} = \frac{X}{e^X} \xrightarrow[X \to +\infty]{} 0$$9