Analyse de la Convexité

Convexité de la Fonction ln

Dérivée seconde

$$f'(x) = \frac{1}{x} = x^{-1} \implies f''(x) = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$$

Signe de $f''$

Pour tout $x > 0$ : $x^2 > 0$, donc $f''(x) = -\dfrac{1}{x^2} < 0$.

Conclusion

$f''(x) < 0$ sur $]0\,;\,+\infty[$ : la fonction $\ln$ est concave.

Interprétation graphique

• La courbe $\mathcal{C}_{\ln}$ est située en dessous de chacune de ses tangentes
• La courbe est située au-dessus de chacune de ses cordes

Inégalité caractéristique

Pour tous $$\ln(ta + (1-t)b) \geq t\,\ln(a) + (1-t)\,\ln(b)$$0 et $$\ln(ta + (1-t)b) \geq t\,\ln(a) + (1-t)\,\ln(b)$$1 :

$$\ln(ta + (1-t)b) \geq t\,\ln(a) + (1-t)\,\ln(b)$$