Mathématiques
Premium 🔒
≈ 35 min
Tableaux des Primitives Usuelles et Composées
Intégration et Primitives
Primitives Usuelles et Composées
Tableau 1 : Primitives des fonctions usuelles
| Fonction $f(x)$ | Primitive $F(x)$ | Conditions |
|---|---|---|
| $a$ (constante) | $ax + C$ | $\mathbb{R}$ |
| $x^n$ | $\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$ | $n \neq -1$ |
| $\dfrac{1}{x}$ | $\ln\|x\| + C$ | $x \neq 0$ |
| $e^x$ | $e^x + C$ | $\mathbb{R}$ |
| $e^{ax+b}$ | $\dfrac{1}{a}e^{ax+b} + C$ | $a \neq 0$ |
| $\cos(x)$ | $\sin(x) + C$ | $\mathbb{R}$ |
| $\sin(x)$ | $-\cos(x) + C$ | $\mathbb{R}$ |
Tableau 2 : Primitives des fonctions composées
Pour $u$ dérivable sur $I$ :
| Forme | Primitive | Conditions |
|---|---|---|
| $u' \cdot u^n$ | $\dfrac{u^{n+1}}{n+1} + C$ | $n \neq -1$ |
| $\dfrac{u'}{u}$ | $\ln\|u\| + C$ | $u \neq 0$ |
| $u' \cdot e^u$ | $e^u + C$ | — |
| $u' \cos(u)$ | $\sin(u) + C$ | — |
| $u' \sin(u)$ | $-\cos(u) + C$ | — |
Méthode de reconnaissance
- Identifier la forme composée ($u'u^n$, $u'/u$, $u'e^u$...)
- Repérer $u$ et vérifier que le numérateur/facteur contient $u'$
- Ajuster le coefficient si nécessaire
Exemple
$\displaystyle\int \frac{2x}{x^2+1}\,dx$ : on pose $u = x^2+1$, $u' = 2x$. C'est la forme $\dfrac{u'}{u}$, donc la primitive est $\ln(x^2+1) + C$.