Propriétés Algébriques de l'Intégrale

Propriétés Algébriques

Relation de Chasles

Pour tout $c \in [a ; b]$ :

$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \int_{a}^{c} f(x)\,dx + \int_{c}^{b} f(x)\,dx$$

Linéarité

Pour tous réels $\alpha, \beta$ :

$$\int_{a}^{b} \big(\alpha f(x) + \beta g(x)\big)\,dx = \alpha \int_{a}^{b} f(x)\,dx + \beta \int_{a}^{b} g(x)\,dx$$

Conventions

• $\displaystyle\int_{a}^{a} f(x)\,dx = 0$
• $\displaystyle\int_{b}^{a} f(x)\,dx = -\int_{a}^{b} f(x)\,dx$

Signe et aires

L'intégrale peut être négative si $f$ change de signe.

Pour calculer l'aire géométrique quand $f$ change de signe en $c \in [a ; b]$ :

$$\mathcal{A} = \int_{a}^{c} f(x)\,dx - \int_{c}^{b} f(x)\,dx$$

(si $f \geq 0$ sur $[a ; c]$ et $f \leq 0$ sur $[c ; b]$)

Aire entre deux courbes

Si $f(x) \geq g(x)$ sur $[a ; b]$ :

$$\mathcal{A} = \int_{a}^{b} \big(f(x) - g(x)\big)\,dx$$