Primitives d'une Fonction

Primitives d'une Fonction

Définition

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$. On appelle primitive de $f$ sur $I$ toute fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que :

$$\forall x \in I, \quad F'(x) = f(x)$$

Propriété fondamentale

Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, alors toute autre primitive $G$ de $f$ sur $I$ est de la forme :

$$G(x) = F(x) + C, \quad C \in \mathbb{R}$$

L'ensemble des primitives forme une famille de fonctions translatées verticalement.

Primitive vérifiant une condition initiale

Pour déterminer l'unique primitive $F$ telle que $F(x_0) = y_0$ :

1. Trouver une primitive générale $F(x) + C$
2. Résoudre $F(x_0) + C = y_0$ pour trouver $C$

Linéarisation par les formules d'Euler

Pour les puissances de fonctions trigonométriques, on utilise :

$$\cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}, \quad \sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$$

Exemple : $\cos^3(x) = \dfrac{1}{4}\cos(3x) + \dfrac{3}{4}\cos(x)$

D'où la primitive : $F(x) = \dfrac{1}{12}\sin(3x) + \dfrac{3}{4}\sin(x) + C$