Intégration par Parties
Intégration et Primitives
Intégration par Parties (IPP)
Théorème
Soient $u$ et $v$ deux fonctions de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[a ; b]$. On a :
$$\int_{a}^{b} u(x)\,v'(x)\,dx = \Big[u(x)\,v(x)\Big]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u'(x)\,v(x)\,dx$$
Origine
C'est la transposition de la formule de dérivation d'un produit :
$$(uv)' = u'v + uv' \implies uv' = (uv)' - u'v$$
En intégrant les deux membres sur $[a ; b]$, on obtient la formule d'IPP.
Méthode
- Choisir $u$ et $v'$ (on dérive $u$, on primitive $v'$)
- Calculer $u'$ et $v$
- Appliquer la formule
Règle de choix (LIATE)
Ordre de priorité pour le choix de $u$ :
- Logarithme, Inverse trigo, Algébrique, Trigo, Exponentielle
Exemples
Exemple 1 : $\displaystyle\int_{0}^{1} x\,e^x\,dx$
On pose $u = x$, $v' = e^x$, donc $u' = 1$, $v = e^x$.
$$\int_{0}^{1} x\,e^x\,dx = \Big[x\,e^x\Big]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^x\,dx = e - \Big[e^x\Big]_{0}^{1} = e - (e - 1) = 1$$
Exemple 2 : $\displaystyle\int_{1}^{e} \ln(x)\,dx$
On pose $u = \ln(x)$, $v' = 1$, donc $u' = \dfrac{1}{x}$, $v = x$.
$$\int_{1}^{e} \ln(x)\,dx = \Big[x\ln(x)\Big]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} 1\,dx = e - (e - 1) = 1$$