Intégrale de Riemann et Notion d'Aire

Intégrale de Riemann

Approche géométrique

Pour une fonction $f$ continue et positive sur $[a ; b]$, l'intégrale :

$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx$$

représente l'aire du domaine délimité par :
- la courbe $\mathcal{C}_f$
- l'axe des abscisses
- les droites $x = a$ et $x = b$

Construction par les sommes de Riemann

On subdivise $[a ; b]$ en $n$ sous-intervalles de largeur $\Delta x = \dfrac{b-a}{n}$.

Somme de Riemann (rectangles à gauche) :

$$S_n = \sum_{k=0}^{n-1} f(a + k\Delta x) \cdot \Delta x$$

L'intégrale est la limite de ces sommes quand $n \to +\infty$ :

$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \lim_{n \to +\infty} S_n$$

Interprétation en probabilités

Pour une variable aléatoire continue $X$ de densité $f$ :

$$P(a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x)\,dx$$

L'aire sous la courbe de densité représente la probabilité.

Cas d'une fonction négative

Si $f(x) \leq 0$ sur $[a ; b]$, alors $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx \leq 0$.

L'aire géométrique est $\displaystyle\left|\int_{a}^{b} f(x)\,dx\right|$.