Comparaison, Inégalités et Valeur Moyenne

Propriétés de Comparaison et Valeur Moyenne

Positivité de l'intégrale

Si $f \geq 0$ sur $[a ; b]$ avec $a \leq b$, alors :

$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \geq 0$$

Comparaison

Si $f(x) \leq g(x)$ pour tout $x \in [a ; b]$, alors :

$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \leq \int_{a}^{b} g(x)\,dx$$

Inégalité de la moyenne

Si $m \leq f(x) \leq M$ sur $[a ; b]$, alors :

$$m(b - a) \leq \int_{a}^{b} f(x)\,dx \leq M(b - a)$$

Valeur moyenne

La valeur moyenne de $f$ sur $[a ; b]$ est :

$$\mu = \frac{1}{b - a}\int_{a}^{b} f(x)\,dx$$

C'est la hauteur du rectangle de même base $[a ; b]$ ayant la même aire que le domaine sous la courbe.

Distinction avec l'espérance

Inégalité triangulaire

$$\left|\int_{a}^{b} f(x)\,dx\right| \leq \int_{a}^{b} |f(x)|\,dx$$