Propriétés Algébriques de l'Intégrale
Intégration et Primitives
Propriétés Algébriques
Relation de Chasles
Pour tout $c \in [a ; b]$ :
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \int_{a}^{c} f(x)\,dx + \int_{c}^{b} f(x)\,dx$$
Linéarité
Pour tous réels $\alpha, \beta$ :
$$\int_{a}^{b} \big(\alpha f(x) + \beta g(x)\big)\,dx = \alpha \int_{a}^{b} f(x)\,dx + \beta \int_{a}^{b} g(x)\,dx$$
Conventions
- $\displaystyle\int_{a}^{a} f(x)\,dx = 0$
- $\displaystyle\int_{b}^{a} f(x)\,dx = -\int_{a}^{b} f(x)\,dx$
Signe et aires
L'intégrale peut être négative si $f$ change de signe.
Pour calculer l'aire géométrique quand $f$ change de signe en $$\int_{a}^{b} \big(\alpha f(x) + \beta g(x)\big)\,dx = \alpha \int_{a}^{b} f(x)\,dx + \beta \int_{a}^{b} g(x)\,dx$$0 :
$$\mathcal{A} = \int_{a}^{c} f(x)\,dx - \int_{c}^{b} f(x)\,dx$$
(si $$\int_{a}^{b} \big(\alpha f(x) + \beta g(x)\big)\,dx = \alpha \int_{a}^{b} f(x)\,dx + \beta \int_{a}^{b} g(x)\,dx$$1 sur $$\int_{a}^{b} \big(\alpha f(x) + \beta g(x)\big)\,dx = \alpha \int_{a}^{b} f(x)\,dx + \beta \int_{a}^{b} g(x)\,dx$$2 et $$\int_{a}^{b} \big(\alpha f(x) + \beta g(x)\big)\,dx = \alpha \int_{a}^{b} f(x)\,dx + \beta \int_{a}^{b} g(x)\,dx$$3 sur $$\int_{a}^{b} \big(\alpha f(x) + \beta g(x)\big)\,dx = \alpha \int_{a}^{b} f(x)\,dx + \beta \int_{a}^{b} g(x)\,dx$$4)
Aire entre deux courbes
Si $$\int_{a}^{b} \big(\alpha f(x) + \beta g(x)\big)\,dx = \alpha \int_{a}^{b} f(x)\,dx + \beta \int_{a}^{b} g(x)\,dx$$5 sur $$\int_{a}^{b} \big(\alpha f(x) + \beta g(x)\big)\,dx = \alpha \int_{a}^{b} f(x)\,dx + \beta \int_{a}^{b} g(x)\,dx$$6 :
$$\mathcal{A} = \int_{a}^{b} \big(f(x) - g(x)\big)\,dx$$