Primitives d'une Fonction

Primitives d'une Fonction

Définition

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$. On appelle primitive de $f$ sur $I$ toute fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que :

$$\forall x \in I, \quad F'(x) = f(x)$$

Propriété fondamentale

Si $F$ est une primitive de $$G(x) = F(x) + C, \quad C \in \mathbb{R}$$0 sur $$G(x) = F(x) + C, \quad C \in \mathbb{R}$$1, alors toute autre primitive $$G(x) = F(x) + C, \quad C \in \mathbb{R}$$2 de $$G(x) = F(x) + C, \quad C \in \mathbb{R}$$3 sur $$G(x) = F(x) + C, \quad C \in \mathbb{R}$$4 est de la forme :

$$G(x) = F(x) + C, \quad C \in \mathbb{R}$$

L'ensemble des primitives forme une famille de fonctions translatées verticalement.

Primitive vérifiant une condition initiale

Pour déterminer l'unique primitive $$G(x) = F(x) + C, \quad C \in \mathbb{R}$$5 telle que $$G(x) = F(x) + C, \quad C \in \mathbb{R}$$6 :

1. Trouver une primitive générale $$G(x) = F(x) + C, \quad C \in \mathbb{R}$$7
2. Résoudre $$G(x) = F(x) + C, \quad C \in \mathbb{R}$$8 pour trouver $$G(x) = F(x) + C, \quad C \in \mathbb{R}$$9

Linéarisation par les formules d'Euler

Pour les puissances de fonctions trigonométriques, on utilise :

$$\cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}, \quad \sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$$

Exemple : $$\cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}, \quad \sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$$0

D'où la primitive : $$\cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}, \quad \sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$$1