Le Théorème Fondamental de l'Analyse

Théorème Fondamental

Énoncé

Soit $f$ une fonction continue sur $[a ; b]$. Si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a ; b]$, alors :

$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \Big[F(x)\Big]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$$

Ce théorème établit le pont entre le calcul intégral (aire) et le calcul différentiel (primitives).

Notation crochet

$$\Big[F(x)\Big]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$$

Méthode de calcul

1. Trouver une primitive $$\Big[F(x)\Big]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$$0 de $$\Big[F(x)\Big]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$$1
2. Calculer $$\Big[F(x)\Big]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$$2 et $$\Big[F(x)\Big]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$$3
3. Faire la différence $$\Big[F(x)\Big]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$$4

Exemples

Exemple 1 :

$$\int_{0}^{1} x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$$

Exemple 2 :

$$\int_{1}^{e} \frac{1}{x}\,dx = \Big[\ln(x)\Big]_{1}^{e} = \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1$$

Exemple 3 (densité de probabilité) :

Pour $$\Big[F(x)\Big]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$$5 sur $$\Big[F(x)\Big]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$$6 :

$$\int_{0}^{20} f(x)\,dx = \Big[0{,}0075x^2 - 0{,}00025x^3\Big]_{0}^{20} = 3 - 2 = 1$$

La condition de normalisation est vérifiée.